常数项级数

一、基本概念

常数项级数：无穷个实数的和（ $x_{n}$ 为级数的通项/一般项）

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} x_{n} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} + \dots \end{array}

部分和数列：常数项级数的前 $n$ 项和（级数的收敛与数列的收敛本质是一回事）

\begin{aligned} S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} \end{aligned}

二、常数项级数收敛的判断

级数收敛的充分必要条件：

如果部分和数列 ${S_{n}}$ 收敛于有限数 $S$ , 则称级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 收敛
如果部分和数列 ${S_{n}}$ 发散，则称级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 发散

级数收敛的必要条件：级数收敛，则其通项构成的数列 ${x_{n}}$ 是无穷小量

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 \end{array}

千万注意，这只能用来初步判定（如果通项极限不为 0，则一定发散），但是不能用来确定是否能够收敛（例如 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ，而级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散），更多的是使用常数项级数审敛法，或者直接与特殊的已知敛散性的级数进行比较判断。

三、收敛级数的基本性质

线性性质

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = A \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = B \sum_{n = 1}^{\infty} (α a_{n} \pm β b_{n}) = α A \pm β B \end{array}

在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
如果级数收敛，则对此级数的项任意加括号所形成的级数仍然收敛，且和不变。

四、特殊的常数项级数

1. 等比级数/几何级数

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} q^{n - 1} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} + \dots \end{array}

收敛性的判断来自于常数项级数收敛的定义：部分和数列极限存在

部分和数列通项： $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} q^{k - 1} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

当 $| q | < 1$ 时， $lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{1}{1 - q}$ ，级数收敛
当 $| q | \geq 1$ 时，级数发散

2. P 级数

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \end{array}

当 $p > 1$ 时， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 收敛
当 $p \leq 1$ 时， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 发散，当 $p = 1$ 时，为调和级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散